9.1 KB · ⇊ 4 parts · ⤓ Micron 9.1 KB · ⤓ HTML 60.2 KB

top

Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.

• Definitionen

• Eigenschaften

• Beispiele

• Kategorien mit Nullobjekten

• Literatur

• Ein Objekt X {\displaystyle X} heißt Anfangsobjekt, wenn es für jedes Objekt Y {\displaystyle Y} der Kategorie genau einen Morphismus X → → Y {\displaystyle X\to Y} gibt.

• Ein Objekt X {\displaystyle X} heißt Endobjekt, wenn es für jedes Objekt Y {\displaystyle Y} der Kategorie genau einen Morphismus Y → → X {\displaystyle Y\to X} gibt.

• Ein Objekt heißt Nullobjekt, wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

• Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.

• Je zwei Endobjekte sind isomorph.

• Je zwei Nullobjekte sind isomorph.

• Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

• Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des Koprodukts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

• Das Endobjekt ist ein Sonderfall des Produkts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

• In der Kategorie der Mengen ist die leere Menge das Anfangsobjekt und jede einelementige Menge ein Endobjekt. Diese Kategorie hat kein Nullobjekt.

• In der Kategorie der Gruppen oder der abelschen Gruppen ist die triviale Gruppe (die nur aus dem neutralen Element besteht) Nullobjekt.

• In der Kategorie der nichtleeren Halbgruppen gibt es kein Anfangsobjekt. Lässt man die leere Halbgruppe zu, so ist diese das Anfangsobjekt. In beiden Fällen ist jede einelementige Halbgruppe Endobjekt.

• In der Kategorie der Vektorräume über einem Körper (oder allgemeiner der Moduln über einem Ring) ist der Nullvektorraum (bzw. der Nullmodul) Nullobjekt.

• In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist der Ring Z der ganzen Zahlen Anfangsobjekt und der Nullring Endobjekt.

• In der Kategorie beliebiger Ringe ist der Nullring Nullobjekt.

• In der Kategorie der punktierten topologischen Räume sind die einpunktigen Räume Nullobjekte.

• Man kann jede partielle Ordnung als Kategorie auffassen, indem man festlegt, dass genau dann ein Pfeil von x {\displaystyle x} nach y {\displaystyle y} geht, wenn x ≤ ≤ y {\displaystyle x\leq y} gilt. Ein Anfangsobjekt entspricht dann dem kleinsten Element der Ordnung (falls es existiert). Ein Endobjekt entspricht dem größten Element.

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt 0 {\displaystyle 0} , so gibt es zu je zwei Objekten X {\displaystyle X} und Y {\displaystyle Y} stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus 0 : : X → → Y {\displaystyle 0\colon X\to Y} , der die Verkettung von

X → → 0 → → Y {\displaystyle X\to 0\to Y}

ist. Genauer schreibt man 0 X , Y {\displaystyle 0_{X,Y}} , um die Abhängigkeit von X {\displaystyle X} und Y {\displaystyle Y} auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt 0 X , Y = 0 X ′ , Y ′ {\displaystyle 0_{X,Y}=0_{X',Y'}} nur für X = X ′ {\displaystyle X=X'} und Y = Y ′ {\displaystyle Y=Y'} .

Nullmorphismen 0 : : X → → Y {\displaystyle 0\colon X\to Y} in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus X {\displaystyle X} auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von Y {\displaystyle Y} abbilden. Beispiele sind:

• In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus 0 X , Y : : X → → Y {\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y} derjenige Homomorphismus, der jedes Element aus X {\displaystyle X} auf das neutrale Element von e Y ∈ ∈ Y {\displaystyle e_{Y}\in Y} abbildet, das heißt 0 X , Y ( x ) = e Y {\displaystyle 0_{X,Y}(x)=e_{Y}} für alle x ∈ ∈ X {\displaystyle x\in X} .

• In der Kategorie der Moduln über einem Ring R {\displaystyle R} ist der Nullmorphismus 0 X , Y : : X → → Y {\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y} diejenige R {\displaystyle R} -lineare Abbildung, die jedes Element aus X {\displaystyle X} auf das Nullelement von 0 Y ∈ ∈ Y {\displaystyle 0_{Y}\in Y} abbildet, das heißt 0 X , Y ( x ) = 0 Y {\displaystyle 0_{X,Y}(x)=0_{Y}} für alle x ∈ ∈ X {\displaystyle x\in X} .

• In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus 0 X , Y : : X → → Y {\displaystyle 0_{X,Y}\colon X\to Y} diejenige Abbildung, die jedes Element aus X {\displaystyle X} auf den ausgezeichneten Punkt p Y ∈ ∈ Y {\displaystyle p_{Y}\in Y} abbildet, das heißt 0 X , Y ( x ) = p Y {\displaystyle 0_{X,Y}(x)=p_{Y}} für alle x ∈ ∈ X {\displaystyle x\in X} . Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus f {\displaystyle f} , dieser ist als Differenzkern des Paares ( f , 0 ) {\displaystyle (f,0)} definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

• Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim-Wien-Zürich 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel I, Absatz 3.3: Nullobjekte und Nullmorphismen.